Optique Géométrique || Exercices corrigés Systèmes Centrés Lentilles

I- Boule en verre (Examen PC II Kénitra Maroc: Mai 2000)

      On considère, dans l’air, une boule en verre de rayon R = 1 cm, d’indice n = 1,5 et de vergence V = 67 δ. Soit A un point de l’axe optique tel que CA = - 2R (Fig. 1).

Fig. 1

Dans tout le problème, on supposera les conditions d’approximation de Gauss réalisées.
1) Déterminer la position et la nature de l’image A’ de A ; on calculera la grandeur CA'.
2) Déterminer pour la boule les distances focales f et f’ et la position des points focaux F et F’.
3) Déterminer la position du foyer F’₂ du dioptre de sommet S₂ et tracer la marche d’un rayon incident parallèle à l’axe .


4) La boule est maintenant argentée sur un hémisphère (Fig. 2).

Fig. 2

a- Montrer que ce système catadioptrique est équivalent à un miroir sphérique dont on déterminera le centre Ω et le sommet Σ; on calculera les grandeurs CΩ et CΣ.
b- Tracer la marche d’un rayon incident parallèle à l’axe. Commenter.


Corrigé

1) N.B: les distances sont exprimées en valeur algébrique.

A (dans l'air) a pour image A₁ (dans n) par rapport à S₂; et A₁ a pour image A' (image finale) par rapport à S₁.
 
La relation de conjugaison avec origine en C s'écrit:

n/CA' - n/CA = 2(n - 1)/R   (*)

 d'où: CA' = 2nR/(3n - 4) = 6 cm

2) La formule de Gullstrand donne: V = 2(n - 1)/nR = 1/f' = -1/f
d'où: f' = -f = 1,5 cm
La relation (*) montre que f' = CF' = -CF

3) F’₂ est l'image d'un point infini sur l'axe par rapport à S₂.
CF’₂ = R/(n - 1) = 2 cm

La figure 3 représente la marche d'un rayon incident parallèle à l'axe.
 

Fig. 3

4) a- Le centre est l'image de lui-même par rapport au dioptre S2 et par rapport au miroir S₁: Ω = C

Σ est le conjugué de S1 par rapport à S₂.
Σ (objet) ----> S₁ (image) par rapport à S₂:

1/CS₁ - n/CΣ = (1 - n)/CS₂

d'où: CΣ = R' = 3 cm

b- Tracé de la marche d'un rayon incident parallèle à l'axe (Fig. 4), le trajet est symétrique par rapport à CJ.

Fig. 4

II- Dem-boule (Examen rattrapage SMPS2 Kénitra Maroc, juillet 2012)

A- On considère, dans l’air, une lentille plan-convexe en verre d’indice n = 1,5 et de rayon R = SC = 4 cm (Fig. 5).

         

 

Fig. 5             Fig. 6
 

On se placera dans les conditions d’approximation des rayons paraxiaux et on déterminera les positions d’éléments cardinaux par rapport au centre C.
1) Le verre est supposé transparent et isotrope. Définir ces deux termes. 2) Déterminer les positions des foyers F et F’ de cette lentille.
3) Calculer ses distances focales f et f’ et en déduire les positions de ses points principaux (H, H’) et nodaux (N, N’).

B- La face plane de la lentille est maintenant argentée (Fig. 6).
1) Montrer que ce système catadioptrique est équivalent à un miroir sphérique dont on déterminera le rayon de courbure R’.
2) Soit, par rapport au système catoptrique équivalent, un objet AB très éloigné de diamètre apparent α = 10°.
a- Positionner par le tracé de rayons particuliers l’image A’B’ de AB.
b- En déduire la taille de cette image.

Corrigé

A- 1) Transparent: il laisse passer la lumière; isotrope: pas de directions privilégiées.

2) Les relations de conjugaison donnent: 

CF = nCS/(n - 1) = -12 cm  et   CF' = SC/n(n - 1) = 5,3 cm

3) V = V₁ = (n -1)/SC = 1/f' = 1/f

f' = -f = 8 cm = H'F' = NF = NC + CF

CH = CN = -4 cm

CH' = CN' = -2,7 cm

B- 1) Σ a pour image C par rapport à S, donc Σ = C

Le centre équivalent Ω a pour image l'infini par rapport à S; d'où

R' = CΩ = nCS/(n - 1) = -12 cm

le miroir équivalent est concave.

2) a- Position de l'image (Fig. 7)

Fig. 7

b- A'B' = tg(R'/2) = 1,4 cm

III- Focométrie  

     Pour déterminer la distance focale f’ d’une lentille convergente L de centre optique O par la méthode de Bessel, on impose une distance D entre un objet AB et un écran E, puis on interpose la lentille et l’on cherche deux positions de L qui donnent une image A’B’ nette sur l’écran (Fig. 8).

Fig. 8

On pose : p = OA ; p' = OA' et D = AA'. 

1) Exprimer la distance D en fonction de p et f’. 

2) Étudier la relation D(p) pour p variant de –∞ à +∞. 

3) Tracer le graphe D(p) et l’interpréter physiquement. 

4) Vérifier graphiquement qu’il existe une valeur minimale D_min de D permettant d’obtenir une image nette. 

5) Déterminer, en fonction de D et f’, les deux positions p₁ et p₂ de p pour lesquelles A’B’ est nette. 

6) Exprimer la distance focale f’ en fonction de D et la distance d = |p₂ – p₁| entre les deux positions de L. 

7) Calculer f’ pour D = 1 m et d = 44,7 cm.

Corrigé

1) La relation de conjugaison liant A et A' s'écrit pour une lentille mince:

1/p' - 1/p = 1/f'

 d'où: p' = p + D = f'p/(f' + p)

D(p) = -p²/(p + f')  (**)

2) D(p) n'est pas définie en p = -f'; D'(p) = 0 pou p = 0 et -2f'  

3)

Fig. 9

4) D'après le graphe (Fig. 9), il n'y a d'image réelle que si D ≥ D_min = 4f'

5) Pour D fixe, (**) donne: p² + Dp + Df' = 0

p = -D/2 ± √D/2√(D - 4f')

D - 4f' ≥ 0 ou D ≥ 4f'

6) d = √(D² - 4Df')

7) f' = (D² - d²)/4D = 20 cm