I- Principe de Fermat
Un rayon lumineux incident issu du point A(0, 0, zA), zA > 0, tombe sur un dioptre (plan xoy), séparant les milieux d’indices n (z > 0) et n’ (z < 0) , au point I(x, y, 0) et émerge vers le point B(0, yB, zB), yB > 0 , zB < 0 ; A et B sont supposés fixes.
1) Déterminer le chemin optique L= (AB) en fonction des indices et des coordonnées des points A, B et I.
2) Appliquer le principe de Fermat et retrouver les deux lois de réfraction de Snell-Descartes.
2) Appliquer le principe de Fermat et retrouver les deux lois de réfraction de Snell-Descartes.
Corrigé
1)
1)
D'après le figure 1, le chemin optique (MM') s'écrit:
2) Le principe de Fermat: dL = 0 = ( ∂L/ ∂x)dx + ( ∂L/ ∂y)dy
Soit si ∂L/ ∂ x = 0 = ∂L/ ∂y
donc M et M' appartiennent au plan (yoz) et I appartient à ce plan
- Première loi de réfraction: le rayon incident, le rayon réfracté et la normale à la surface xoy sont dans le plan d'incidence ∂L/ ∂y = 0 →
ny/( y 2 + zM 2 ) 1/2 = n' (yM' - y)/( (yM' - y) 2 + zM' 2 ) 1/2
or: sini = y/(y 2 + zM 2) 1/2
et sini' = (yM' - y)/((yM' - y) 2 + zM' 2) 1/2
- Seconde loi de réfraction: nsini = n'sini'
L = (MM') = nMI + n'IM'
M(0, 0, zM); I(0, y, 0); M'(0, yM', zM' )
L = n(x 2 + y 2 + zM 2) 1/2 + n' (x 2 + (yM' - y) 2 + zM' 2 ) 1/2
2) Le principe de Fermat: dL = 0 = ( ∂L/ ∂x)dx + ( ∂L/ ∂y)dy
Soit si ∂L/ ∂ x = 0 = ∂L/ ∂y
donc M et M' appartiennent au plan (yoz) et I appartient à ce plan
- Première loi de réfraction: le rayon incident, le rayon réfracté et la normale à la surface xoy sont dans le plan d'incidence ∂L/ ∂y = 0 →
ny/( y 2 + zM 2 ) 1/2 = n' (yM' - y)/( (yM' - y) 2 + zM' 2 ) 1/2
or: sini = y/(y 2 + zM 2) 1/2
et sini' = (yM' - y)/((yM' - y) 2 + zM' 2) 1/2
- Seconde loi de réfraction: nsini = n'sini'
II- Filtre achromatique
Une onde lumineuse contenant deux radiations, rouge et violette, se propage dans un matériau dont les indices pour ces couleurs sont respectivement : nr = 1,595 et nv = 1,625 ; et arrive sur la surface de séparation avec l’air (n = 1).
1) Calculer les angles d’incidence critiques pour les deux radiations.
2) Quelle couleur observe-t-on dans l’air si l’angle d’incidence est i = 38,4° ?
3) Quel est l’intérêt pratique de ce matériau ?
Une onde lumineuse contenant deux radiations, rouge et violette, se propage dans un matériau dont les indices pour ces couleurs sont respectivement : nr = 1,595 et nv = 1,625 ; et arrive sur la surface de séparation avec l’air (n = 1).
1) Calculer les angles d’incidence critiques pour les deux radiations.
2) Quelle couleur observe-t-on dans l’air si l’angle d’incidence est i = 38,4° ?
3) Quel est l’intérêt pratique de ce matériau ?
Corrigé
Il y a réfraction en I (Fig. 2) si i ≤ ic (angle critique) et i' ≤ π/2
soit si: nsinic = n'sin(π/2) = n'
ic= Arcsin(n'/n) = Arcsin(1/n)
Pour le rouge: icr = 38,83°
Pour le violet: icv = 37,98°
Pour le violet: icv = 37,98°
2) Si i = 38,4°, seule la couleur rouge sera réfractée
3) Filtrer des couleurs
