- Goniomètre - Spectromètre à prisme
Le goniomètre est un instrument d’optique permettant de mesurer l’angle d’un prisme et d’analyser un spectre de raies (spectromètre à prisme ou à réseau). Il est composé de 3 parties principales : une plate-forme sur laquelle on place un prisme ou un réseau, un collimateur et ne lunette.
1) On éclaire un prisme en verre, d’indice n et d’angle A, par la raie jaune du sodium Na, de longueur d’onde λ = 0,5893 μm.
a- Montrer qu’il n’y a émergence que si :
b- Montrer que la déviation totale D passe par un minimum Dm.
c- Montrer qu’au minimum de déviation, l’indice n vérifie la relation suivante :
d- La mesure de A et Dm par un goniomètre donne les résultats suivants :
2) Le prisme est maintenant éclairé par le doublet jaune du sodium (λ1 = 0,5890 μm et λ2 = 0,5896 μm), pour lequel l’indice du prisme suit la loi empirique de Cauchy :
avec a = 1,652 et b = 1,50 .10-2 μm2.
a- Déterminer au minimum de déviation l’expression de la dispersion angulaire du prisme : (dD/dλ)im
en fonction de son pouvoir dispersif : (dn/dλ)im .
b- Déterminer la valeur de la variation dD correspondant aux deux raies du sodium.
1) a- Voir mon cours d'optique géométrique:
D étant l'angle de déviation totale.
Conditions d'émergence
- Condition sur i:
Le goniomètre est un instrument d’optique permettant de mesurer l’angle d’un prisme et d’analyser un spectre de raies (spectromètre à prisme ou à réseau). Il est composé de 3 parties principales : une plate-forme sur laquelle on place un prisme ou un réseau, un collimateur et ne lunette.
a- Montrer qu’il n’y a émergence que si :
A ≤ 2Arcsin(1/n)
et i0 ≤ i ≤ π/2
on donnera l’angle d’incidence i0 en fonction de n et A. b- Montrer que la déviation totale D passe par un minimum Dm.
c- Montrer qu’au minimum de déviation, l’indice n vérifie la relation suivante :
n = sin((A + Dm)/2)/sin(A/2)
d- La mesure de A et Dm par un goniomètre donne les résultats suivants :
A = 60°1' ± 1'
Dm = 55°56' ± 2'
Calculer la valeur de n et son incertitude ∆n. Dm = 55°56' ± 2'
2) Le prisme est maintenant éclairé par le doublet jaune du sodium (λ1 = 0,5890 μm et λ2 = 0,5896 μm), pour lequel l’indice du prisme suit la loi empirique de Cauchy :
n = a + b/λ2
avec a = 1,652 et b = 1,50 .10-2 μm2.
a- Déterminer au minimum de déviation l’expression de la dispersion angulaire du prisme : (dD/dλ)im
en fonction de son pouvoir dispersif : (dn/dλ)im .
b- Déterminer la valeur de la variation dD correspondant aux deux raies du sodium.
Corrigé
1) a- Voir mon cours d'optique géométrique:
Formules du prisme
On considère un prisme (en verre par exemple) placé dans l'air (indice supposé égale à 1).
Lorsqu'un rayon lumineux traverse le prisme en passant de l'air au verre, il est réfracté. Lorsqu'il ressort par l'autre face, il est de nouveau réfracté. Le rayon incident est donc dévié.
Les lois de Snell-Descartes permettent d'écrire les relations suivantes entre les angles d'incidence i, de réfraction r et r' et d'émergence i':
Les lois de Snell-Descartes permettent d'écrire les relations suivantes entre les angles d'incidence i, de réfraction r et r' et d'émergence i':
sini = nsinr sini' = nsinr'
Par ailleurs, la géométrie impose les deux relations suivantes :
A = r + r' D = i + i' - A
Conditions d'émergence
- Condition sur i:
Il y a émergence si la relation suivante est vérifiée : sini’ = nsinr’ ≤ 1 ; ou sinr’ ≤ 1/n = sinr’max ;
or: A = r + r’,
or: A = r + r’,
on en déduit que:
on déduit la condition d’émergence sur l’angle d’incidence i :
- Condition sur A:
Puisque: r’ ≤ r’max, le principe de retour inverse de la lumière permet d'écrire: r ≤ r’max. Ainsi: A = r + r' ≤ 2r'max
D'où la condition sur l'angle au sommet A: A ≤ 2Arcsin(1/n)
b- Déviation minimaleLa déviation totale D passe par un minimum lorsque l'angle d'incidence i varie, pour n et A donnés. En effet, en différenciant les formules du prisme:
A – r = r’ ≤ r’max = Arcsin(1/n) ou r ≥ A – Arcsin(1/n)
A partir de la loi de Snell-Descartes :
A partir de la loi de Snell-Descartes :
sini = nsinr ≥ nsin(A – Arcsin(1/n)) = sini0
on déduit la condition d’émergence sur l’angle d’incidence i :
i ≥ i0 = Arcsin[n sin(A – Arcsin(1/n))]
- Condition sur A:
Puisque: r’ ≤ r’max, le principe de retour inverse de la lumière permet d'écrire: r ≤ r’max. Ainsi: A = r + r' ≤ 2r'max
D'où la condition sur l'angle au sommet A: A ≤ 2Arcsin(1/n)
b- Déviation minimaleLa déviation totale D passe par un minimum lorsque l'angle d'incidence i varie, pour n et A donnés. En effet, en différenciant les formules du prisme:
cosi di = ncosrdr ; cosi'di'= ncosr'dr' ; 0 = dr +dr' ; dD = di + di'
on obtient:
dD/di = di/di' +1 = 1 - cosi'cosr/cosicosr'
D admet un extremum si dD/di = 0, soit si:
L'extremum de i est donnée par la relation:
On montre qu'il s'agit bien d'un minimum.
c- La loi de Snell-Descartes : sinim = nsinrm
permet de déduire, au minimum de déviation, la relation importante suivante:
i = i' = im ; r = r' = rm ; A = 2rm ; Dm = 2im - A
L'extremum de i est donnée par la relation:
im = (Dm + A)/2
permet de déduire, au minimum de déviation, la relation importante suivante:
