Quantique || Exercices moment cinétique

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I- Moment cinétique orbital (Examen PIV, Kénitra Maroc juin 1995)

  On considère un système de moment L = 1; une base de son espace d'états est constituée par les vecteurs propres de L_z: |1>, |0> et |-1> de valeurs propres respectives: ℏ, 0 et - ℏ tels que:

L_±|m> = ℏ√2|m±1>; 

L₊|1> = L_-|-1>= 0 

Ce système, qui possède un moment quadrupolaire électrique, est plongé dans un gradient de champ électrique, de sorte que son Hamiltonien s'écrit:

H = (ω₀/ℏ)(L_u² - L_v²)

où L_u et L_v sont des composantes du moment cinétique orbital sur les deux direction Ou et Ov du plan xOz, à 45° de Ox et Oz; ω₀ est une constante réelle.




1) 
a- Écrire la matrice représentant H dans la base de L_z.
b- Quels sont les états stationnaires du système et leurs énergies ? On notera les états |E ₁>, |E ₂ > et | E ₃> rangés par ordre d'énergies décroissantes.
2) A l'instant t = 0, le système est dans l'état:

|ψ(0)>= 1/√2(|1> - |-1>)

a- Déterminer le vecteur d'état |ψ(t)>à l'instant t.
b- A cet instant, on mesure L_z; quelles sont les probabilités des différents résultats de mesure ?

Corrigé

1) a- L = L_uu + L_vv = L_x i + L_yj+ L_zk
 
On en déduit:

H = (ω₀/ℏ)(L_xL_z +  L_zL_x)

H = (ω₀/2ℏ)(L₊L_z + L_-L_z + L_zL₊ + L_zL_-)

La matrice de H:
                                                                                  (0     1     0 )

H = ℏω₀/√2(1     0     -1 )
                   (0    -1     0 )

b- det(H - λI) = 0 donne: λ₁ = ℏω₀ ;  λ₂ = 0 et λ₃ = -ℏω₀

Les vecteurs propres:
|E₁> = 1/2(|1> + √2|0> - |-1>)|E₂> = 1/√2(|1> + |-1>)|E₃> = 1/2(|1> - √2|0> - |-1>)
 
2) a- |ψ(t)> = e^-iHt/ℏ|ψ(0)> = 1/√2(e^-iω₀t|E₁> + e^-iω₀t|E₃>)
                  = 1/√2(cosω₀t|1> - √2isinω₀t|0> -cosω₀t|-1>)
 
b- P(ℏ) = cos²ω₀t/2
    P(0) =  sin²ω₀t    P(-ℏ) =  cos²ω₀t/2 

II- Moment cinétique J

  Soit un système physique quelconque dont l'espace des états, à quatre dimensions, est rapporté à une base de quatre vecteurs propres |j, m_z> communs à J² et J_z ( j = 0 ou 1).
1) a- Déterminer les kets propres |j, m_z>.
b- L'opérateur J² forme-t-il un ECOC à lui seul ?
2) Déterminer les états propres communs à J² et J_x .
L’ensemble {J², J_x} est-il un ECOC ?
3) On considère un système dans l'état normé, exprimé dans {|j, m_z>}:

|ψ>= a|1,1> + b|1,0> + c|1,-1> + d|0,0>

a- Quelle est la probabilité de trouver 2ℏ et ℏ si l'on mesure simultanément J² et J_x ?

b- Calculer la moyenne <J_z> lorsque le système est dans l'état |ψ> , ainsi que les probabilités des différents résultats possibles lors d'une mesure portant sur cette observable seul.

Corrigé

1) a- Les états propres sont:
pour j = 0 : |0 0>
pour j = 1 : |1 +1>, |1 0> et |1 -1>
 
b- J²|1 1> = 2ħ²|1 1>
    J²|1 0> = 2ħ²|1 0>
    J²|1 -1> = 2ħ²|1 -1>
    J²|0 0> = 0|0 0>
La valeur propre 2ħ² est 3 fois dégénérée, J² ne constitue pas un ECOC à lui seul.
 
2) J_x = 1/2(J₊ + J_-)
J_x|j, m_z>= 1/2(J₊ + J_-)|j, m_z>
On trouve la matrice suivante dans la base de J² et J_z:    
                  
                                                                                (0     √2      0     0)     

        J_x = ℏ_/2 (√2    0      √2    0)

                                           (0     √2      0     0)                     
                      (0      0      0     0)

$$$$0 est valeur propre de J_x , le vecteur propre étant |0 0 >.

On diagonalise la sous-matrice 3x3 , on trouve les valeurs propres suivantes:
λ = -ℏ , 0 et +ℏ
Les vecteurs propres sont:
|u(-ℏ)> = 1/2|1 1> - 1/√2|1 0> + 1/2|1 -1>
|u(+ℏ)> = 1/2|1 1> + 1/√2|1 0> + 1/2|1 -1>
|u(0)> = 1/√2|1 1> - 1/√2|1 -1>
A chaque couple de valeurs propres de J² et J_x correspond un seul vecteur propre commun. L'ensemble {J² , J_x} est un ECOC.
 
3) a- P(2ℏ, ℏ) = P(2ℏ)xP(ℏ) = |<u(ℏ)|ψ>|²
                   = |a|²/4 + |b|²/2 + |c|²/4
 
b- <J_z> = (|a|² - |c|²)ℏ
Les résultats sont les valeurs propres de J_z: -ℏ , 0 et +ℏP(+ℏ) = |a|²
P(0) = |b|² + |d|^{2
P(-ℏ) = |c|2}