Ouverture rectangulaire (Examen PCII Kénitra, Mai 1996)
On considère le système optique représenté sur la Figure 1. Un écran opaque D percé d'une ouverture rectangulaire, de centre O et de côtés a et b, est éclairé par une source de lumière monochromatique de longueur d'onde λ, située à l'infini.
Fig. 1
On étudie la lumière diffractée sur un écran E placé dans le plan focal image d'une lentille convergente L située derrière D.
On repère un point M de l'ouverture par ses coordonnées x et y et un point P de E par ses coordonnées X et Y; les axes Ox et FX d'une part, Oy et FY d'autre part, sont parallèles.
1) Donner, en fonction de l'amplitude a0 de l'onde incidente supposée constante, l'expression de l'amplitude complexe de l'onde diffractée par un élément de surface dS entourant le point M dans la direction du vecteur unitaire u de cosinus directeurs α et β selon Ox et Oy.
2) En déduire l'amplitude complexe de l'onde diffractée par l'ouverture suivant u.
3) Étudier l'éclairement dans l'écran E; on précisera les positions des maxima et des minima d'intensité.
Corrigé
1)
Fig. 2
D'après le principe de Huygens-Fresnel, l'amplitude complexe dA(P) de l'onde diffractée par un élément de surface dS (Fig. 2) entourant un point M(x, y) dans la direction du vecteur unitaire u s'écrit:
dA(P) = μa0(M)exp(jφMP)dS
μ: une constante; a0(M) = a0 = cte (amplitude de l'onde incidente en M, supposée constante)
φMP = 2πMP.u/λ = φ0 - 2πOM.u/λ = φ0 - 2π(αx + βy)/λ φ0 = 2πOP.u/λ = cte
par rapport aux coordonnées (x, y) de M.
2) L'amplitude complexe diffractée par l'ouverture suivant u s'écrit à un facteur multiplicatif près:
A(P) = a0∬exp(2π(αx + βy)/λ)dxdy A(P) = a0∫exp(2παx/λ)dx∫exp(2πβy/λ)dy
x varie de -a à +a; y de -b à +b
L'intégration (voir mon cours)donne:
A(P) = a0ab.sinU.sinV/U.V
avec U = πaα/λ; V = πbβ/λ
3) Étude de l'éclairement: L'éclairement ou intensité s'écrit:
I = |A(P)|2 I = I0(ab)2.(sinU/U)2.(sinV/V)2
I0 = a02 intensité de l'onde incidente
I = Imax = I0(ab)2 pour U = V = 0 (max principal)
I = Imin = 0 pour U = kπ et V = kπ (k entier non nul)
Les maxima secondaires sont tels que: U ≃ (k + 1/2)π et V ≃ (k + 1/2)π
