Onde plane progressive monochromatique (OPPM)
On donne les composantes d’un champ électrique d’une OPPM :Ex = 0
Ey = 0
Ez = E0 cos3π.106(3.108t - x)
Déterminer pour cette onde :
1) la fréquence ν et la période temporelle T;
2) les cosinus directeurs (α, β, γ ) de sa direction de propagation ;
3) la période spatiale λ ;
4) les composantes du vecteur d’onde.
Corrigé
D'après les expressions des composantes du champ électrique E, le champ est dirigé suivant l'axe oz et la propagation se fait selon l'axe ox.
Par analogie avec une onde mécanique, on peut l'écrire l'écrire sous la forme:
Par analogie avec une onde mécanique, on peut l'écrire l'écrire sous la forme:
s(x, t) = E0 cos(ωt - φ)
ω étant la pulsation; φ: la phase à l'origine .
On identifie :
1) ω = 2πν = 2π/T = 3π.106x 3.108
d'où :
ν = 4,5.1014 Hz ; T = 2,2.1015 s
2) φ = 2πr.u/λ = 2π(αx + βy + γz)/λ = 3π.106 x
On en déduit les cosinus directeurs (les composantes) du vecteur unitaire u :
α = 1; β = 0; γ = 0
3) La période spatiale: λ = 0,66 μm
4) Les composantes du vecteur d'onde
K = 2πu/λ = 2π(1, 0, 0)/λ
Composition de deux vibrations lumineuses
On considère les deux vibrations lumineuses suivantes : s1 = a1cos(wt - φ1) s2 = a2cos(wt - φ2) Déterminer la vibration résultante de leur composition par:
1- le calcul : on utilisera la méthode trigonométrique et la méthode des nombres complexes ;
2- la méthode de Fresnel.
On donnera les expressions de l’amplitude a et de la phase φ de la vibration résultante en fonction de a1, a2, φ1 et φ2.
Corrigé
q) Méthode trigonométrique
La vibration résultante s'écrit: s = s1 + s2 = acos(wt - φ2)
La vibration résultante s'écrit: s = s1 + s2 = acos(wt - φ2)
acoswt.cosφ + jasinwt.sinφ = a1coswt.cosφ1 + ja1sinwt.sinφ1
+ a2coswt.cosφ2 + ja2sinwt.sinφ2 (1)
On en déduit les équations suivantes:
acosφ = a1cosφ1 + a2cosφ2 (2)
asinφ = a1sinφ1 + a2sinφ2 (3)
On élève au carré les deux membres des équations (2) et (3) et on somme, on obtient le résultat suivant:
a2 = a12 + a22 + 2a1a2cosΦ = I (4)
Φ = |φ1 - φ2| : la différence de phase; I : Intensité résultante
tgφ = (a1sinφ1 + a2sinφ2) /(a1cosφ1 + a2cosφ2)
b) Méthode des nombres complexes
C'est une méthode très pratique en particulier si on supepose plusieurs vibrations.
A chaque viration (réelle) si = aicos(wt - φi) on associe le nombre complexe :
zi = aie-jωte-jφ = Aie-jωt
Ai = aie-jωt : amplitude dite complexe.
L'intensité résultante s'écrit alors: I = a2 = |A|2 = A.A*
La vibration résultante s'écrit: z = z1 + z2 = Ae-jωt = A1e-jωt + A2e-jωt
Soit:
A= A1 + A2 (5)
On remarque que les équations (5) = (1) ; on en déduit alors les équations (2) et (3) et par conséquent l'équation (4).
c) Méthode de Fresnel
On représente la vibration par un vecteur tournant à la vitesse angulaire ω, à t = 0 comme l'indique la figure suivant:
On déduit de la figure les équations (2) et (3); et l'intensité résultante:
I = a2 = a12 + a22 + 2a1a2cosΦ
2- Cas a1 = a2
Dans ce cas, I devient:
I = a2 = 4a12cos2Φ/2
Composition de plusieurs vibrations lumineuses
Calculer l’intensité résultante de la composition de N vibrations de même amplitude a et dont les phases à l’origine du temps sont en progression arithmétique de raison (-φ) :
s1 = a cosωt; s2 = a cos(ωt - φ); s3 = a cos(ωt - 2φ); ….. ; sN = a cos(ωt – (N – 1)φ)
on utilisera la méthode des nombres complexes.
Corrigé
Corrigé
La vibration résultante s'écrit:
z = z1 + z2 + ... + zN = ΣiAie-jωt (φ + e-2jφ + e-3jφ + ... + e-j(N-1)φ)e-jωt
La partie entre parenthèse est une suite géométrique de raison: e-jφ
z = (φ + e-2jφ + e-3jφ + ... + e-j(N-1)φ)e-jωt (1)
e-jφ(φ + e-2jφ + e-3jφ + ... + e-j(N-1)φ + e-jNφ)e-jωt (2)
L'équation (1) moins l'équation (2) donne:
(1 - e-jφ)z = a(1 - e-jNφ)e-jωt
d'où:
la vibration résultante:
z = a(1 - e-jNφ)e-jωt / (1 - e-jφ)
L'amplitude résultante:
A= a(1 - e-jNφ) / (1 - e-jφ)
L'intensité résultante: I = |A|2 = A.A*
I = a2(1 - e-jNφ) (1 - e+jNφ) / (1 - e-jφ) (1 - e+jφ)
I = a2(1 - cosNφ) / (1 - cosφ)
ou
I = a2(sin2Nφ/2) / (sin2φ/2)
