Quantique || Exercices théorie des perturbations stationnaires

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• Exercice corrigé Potentiel Central

I- Action d'un champ électrique sur une charge (Examen PIV, Kénitra Maroc mai 1993)

Une particule de masse m, portant une charge électrique q et pouvant se déplacer sur l'axe Ox est soumise à une force F = -mω²x (x: abscisse de la particule).
On applique un champ électrique uniforme E0 suivant Ox. On assimile ainsi l'action du champ à une perturbation.
1) Calculer au premier ordre et au deuxième ordre d'approximation le déplacement des niveaux énergétiques de la particule.

2) Trouver les états propres de la particule approchés au premier ordre d'approximation.

 Corrigé 

 1) La force F dérive du potentiel: V(x) = mω²x²/2

L'Hamiltonien non perturbé de la particule s'écrit alors:

H₀ = P²/2m₀ + mω²X²/2

 Il s'agit donc d'un oscillateur à une dimension d'énergies:
E_n⁽⁰⁾  = (n + 1/2)ℏω
et de vecteurs propres: |n>

La force électrique appliquée: F = qE₀ dérive du potentiel: V₁ (x) = -qE₀x

 L'Hamiltonien perturbateur s'écrit alors: H₁ = -qE₀X

 - Correction d'ordre un:
 E_n⁽¹⁾ = <n|H₁|n> = -qE₀<n|X|n>

        = -qE₀.1/2.(ℏ/2mω)^_1/2<n|a + a^₊|n>

        = -qE₀.1/2.(ℏ/2mω)^_1/2(√n<n|n-1> + √n+1<n|n+1>)= 0 

E_n⁽¹⁾ = 0

 - Correction d'ordre deux: 

E_n⁽²⁾ = ∑_m≠n|<m|H₁|n>|^₂/(E_n⁽⁰⁾ - E_m⁽⁰⁾) 

<m|H₁|n> = -qE₀.1/2.(ℏ/2mω)^_1/2<m|a + a^₊|n>

les seuls éléments de matrice non nuls sont tels que:

m = n + 1 et m = n - 1

E_n⁽⁰⁾ - E_n+1⁽⁰⁾ = -ℏω
E_n⁽⁰⁾ - E_n-1⁽⁰⁾ = +ℏω

E_n⁽²⁾ = -(qE₀)^₂/2mω^₂ 

 2) - Correction du vecteur d'état au premier ordre d'approximation 

|φ_n⁽¹⁾> = ∑_m≠n<m|H₁|n>/(E_n⁽⁰⁾ - E_m⁽⁰⁾)
|φ_n⁽¹⁾> = qE₀.(1/2ℏmω^₃)^_1/2(√n+1|n+1> - √n|n-1>)

II- Oscillateur anharmonique

    On soumet un oscillateur harmonique à une dimension (x), de pulsation ω, à une perturbation cubique (potentiel anharmonique):

H₁ = αℏωX^³    ;    0 < α << 1

1) Déterminer les corrections E_n⁽¹⁾ et E_n⁽²⁾ de l'énergie d'ordre un et deux.
2) Trouver les états propres de l'oscillateur approchés au premier ordre d'approximation.

Corrigé

1)
Avec:  X^ = (a + a⁺)/√2 (lire X chapeau) a et a⁺ étant les opérateurs d'annihilation et de création;

on montre que H₁ s'écrit: H₁ = αℏω[a³ + a⁺³ + 3Na⁺ + 3(N + 1)a]/2^3/2
E_n⁽¹⁾ = <n|H₁|n> = 0
E_n⁽²⁾ = -(15/4)α²(n + 1/2)ℏω - (7/16)α²ℏω
²⁾  |φ_n⁽¹⁾> = -3α((n + 1)/2)^3/2|n+1> + 3α(n/2)^3/2|n-1> 

                  -(α/3)((n + 3)(n + 2)(n + 1)/8)^1/2|n+3>             

                +(α/3)(n(n - 2)(n - 1)/8)^1/2|n-3>

III- Effets relativistes sur l'atome d'hydrogène (Examen PIV, Kénitra Maroc mai 1994)

On rappelle qu'en tenant compte des effets relativistes, l'Hamiltonien de l'atome d'hydrogène s'écrit:

H = H₀ + H₁

H₀ est l'Hamiltonien non relativiste: 
                                                  H₀ =   P²/2m₀ + V(r)
H₁ est l'Hamiltonien de structure fine : 
                      H₁ = P⁴/8m₀³c² + (1/2m₀²c²)(/r)(dV(r)/dr)L.S  +  e²ℏ²δ(r)/8ε₀m₀²c²
δ étant la fonction de Dirac: δ(r) = |r><r|.

1) Donner une interprétation physique des différents termes de H₁.
2) Quelles sont les corrections du premier ordre à apporter aux valeurs propres E_n⁽⁰⁾ de H₀.
3) En déduire que la correction totale s'écrit:

ΔE = -(α²/4n²).|E_n⁽⁰⁾|.[4n/(j + 1/2) - 3]

n et j sont les nombres quantiques usuels.α est la constante de structure fine: 

α = e²/4πε₀ℏc

4) Faire un schéma représentant les niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène relatifs aux premières valeurs de n. Quel est l'écart entre les niveaux 2²S_1/2 et 2²P_1/2 ?

On rappelle que les fonctions d'onde normalisées associées aux niveaux E_n⁽⁰⁾ s'écrivent: 

Φ_nℓm(r, θ, φ) = R_nℓ(r)Y_ℓ^m(θ, φ)

E_n⁽⁰⁾ = -(m₀e⁴/8ε₀²h²).1/n²

Le rayon de Bohr a₀ = 4πε₀ℏ²/m₀e²

On donne: <nℓ|1/r|nℓ> = 1/a₀n²
<nℓ|1/r²|nℓ> = 1/a₀²(ℓ + 1/2)n³
<nℓ|1/r³|nℓ> = 1/a₀³ℓ(ℓ + 1/2)(ℓ + 1)n³  pour ℓ > 0
|R_nℓ(r)|² = 4/a₀³n³ ;  R_nℓ(0) = 0 

Corrigé

1)
- H₁₁ = P⁴/8m₀³c² : Terme dû à la variation de la masse avec la vitesse.

- H₁₂ = +(1/2m₀²c²)(1/r)(dV(r)/dr)L.S : terme dû au couplage spin-orbite, interaction entre le champ magnétique créé par la rotation de l'électron autour du noyau et le moment magnétique de spin.

- H₁₃ = +e²ℏ²δ(r)/8ε₀m₀²c²: Terme dû à la variation de l'énergie potentielle; l'interaction électrique entre le noyau et l'électron n'étant plus locale.

2)
* E_11n⁽¹⁾= <nℓ|H₁₁|nℓ> = -(α²/4n²).|E_n⁽⁰⁾|.(4n/(ℓ+1/2) - 3)
* E_12n⁽¹⁾= <nℓ|H₁₂|nℓ> 
            = -(α²/2n).|E_n⁽⁰⁾|.1/ℓ(ℓ+1/2)  pour  j = ℓ - 1/2
            = +(α²/2n).|E_n⁽⁰⁾|.1/(ℓ+1/2)(ℓ+1)  pour  j = ℓ + 1/2
* E_13n⁽¹⁾= <nℓ|H₁₂|nℓ> = α²/n.|E_n⁽⁰⁾| pour  ℓ = 0

3) La somme des trois corrections donne:

ΔE = -(α²/4n²).|E_n⁽⁰⁾|.[4n/(j + 1/2) - 3]

4)

- Pour n = 1, ℓ = 0: ΔE = -α²/4.|E_1⁽⁰⁾|
- Pour n = 2
 * ℓ = 0: ΔE = -5α²/4.|E_2⁽⁰⁾|   avec j = 1/2   ---> état : 2²S_1/2
 * ℓ = 1:  ΔE = -5α²/4.|E_2⁽⁰⁾|  avec j = 1/2  ----> état : 2²P_1/2
    ℓ = 1:   ΔE = -α²/16.|E_2⁽⁰⁾|  avec j = 3/2 ----> état : 2²P_3/2

Les états 2²S_1/2 et 2²P_1/2 sont confondus.