Exercices quantique || Magnétisme atomique

 Moment magnétique - Dia - Paramagnétisme atomique

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I- Moment magnétique atomique

Un atome est dit paramagnétique si son moment magnétique:

μ_J = -(gμ_B/ħ)J   avec J = L + S

n'est pas nul, avec g : facteur de Landé et μ_B : magnéton de Bohr;

On considère un atome ou ion dont les nombres quantique orbital et de spin sont L et S.

1) Quels sont les valeurs de ces nombres conduisant à un élément diamagnétique ?

2) Préciser la nature dia ou paramagnétique des éléments suivants:

O; O^2-; Na et Na⁺.

3) Calculer en fonction de μ_B les moments magnétiques des éléments suivants:

H; He; Li et C; et préciser leur nature dia ou paramagnétique

Corrigé 

1) Un élément est diamagnétique si J = 0 soit si L = -S (vecteurs) ou L = S (nombres quantiques); avec |L - S| ≤ J ≤ L + S

Deux cas:

a- J = |L - S| = 0 , c'est le cas des atomes dont les couches électroniques sont moins de la moitié remplies, avec L = S

b- J = L + S = 0 soit pour L=S=0, c'est le cas des couches pleines (gaz inertes par exemple)

2) O(Z = 8) 1s²2s²2p⁴, sous couches p plus de la moitié pleines, O est paramagnétique
O^2- 1s²2s²2p⁶, sous couches p pleine, O est diamagnétiques

Na(Z = 11) 1s²2s²2p⁴3s¹  para

Na⁺ 1s²2s²2p  dia

3) μ_J = gμ_B√J(J + 1)
H(Z = 1) 1s¹ ; L = 0 , S = 1/2 et J = 1/2 ; μ_J = √3μ_B para
He(Z = 2) 1s² ; L = 0 , S = 0 = J ; μ_J = 0  dia
Li(Z = 3) 1s² 2s¹ ; L = 0 , S = 1/2 et J = 1/2 ; μ_J = √3μ_B para
C(Z = 6) 1s²2s²2p² ; L = 1 , S = 1 et J = 0 ; μ_J = 0  dia

II Moment magnétique orbital pour un niveau atomique   

Calculer, en fonction du magnéton de Bohr μ_B, les moments magnétiques orbitales possibles pour un état atomique caractérisé par le nombre quantique principal n = 2.

Corrigé 

L'Hamiltonien d'interaction s'écrit:H = -= - J.B/ħ.

Le niveau s'éclate en 3 sous niveaux  = -1; 0 et ne se décompose pas sous l'effet de B puisque J = 0 =  On observe 3 raies (Fig. 1), Triplet de Zeeman  P

L'état n correspond aux nombres quantiques secondaires ℓ = L = 0 et 1 

μ_L = μ_B√L(L + 1) = 0 et √2.μ_B

III- Effet d'un champ magnétique faible sur le moment magnétique orbital   

On soumet l'atome d'hydrogène à un champ magnétique faible dirigé selon l'axe Oz. Déterminer la fréquence de précession du moment magnétique orbital de l'électron; on ne tient pas compte du spin.  

Corrigé

L'atome étant soumis à l'effet de B, le moment magnétique orbital subira un couple de moment:  

Γ = μ_L ∧  B = γL ∧  B = r ∧ mdv/dt = dL/dt
or dμ_L/dt = γdL/dt =  - μ_L ∧ ω = γμ_L ∧  B

d'où:  ω = -γB = eB/2m = 2πν

ν = eB/4πm

Le moment magnétique orbital décrit donc une précession dite de Larmor à la fréquence ν.  

IV- Effet Zeeman normal  (Examen Licence PIV Kénitra juin 1989)

 L'émission de la radiation de résonance λ = 2573 Å par un atome de mercure se produit lorsqu'un électron passe du niveau excité 6 ³P₁  au niveau fondamental 6¹S₀. Ce dernier niveau est normalement occupé par deux électrons.
1) Expliquer la signification des symboles des deux niveaux.
2) Donner les valeurs de leur facteur de Landé.
3) On considère la vapeur ¹⁹⁸ ₈₀ Hg (afin d'éviter certaines complications dues au spin du noyau) contenu dans une cuve transparente, à faible pression (pour que les interactions des atomes soient négligeables) et placée dans un champ magnétique uniforme B dirigé selon l'axe Oz.

a- Indiquer la décomposition des niveaux P₁ et S₀ produite par effet Zeeman.
b- Combien de raies observe-t-on ? Justifier.

Corrigé

1) 6³P₁ signifie: n = 6; L = 1; J = 1 et la multiplicité m = 2S + 1 = 3, soit S = 1
6¹S₀ signifie: n = 6; L = 0; J = 0 et la multiplicité m = 2S + 1 = 1, soit S = 0
2) Le facteur de Landé est donné par la relation:

g = 1 + [J(J+1) + S(S+1) - L(L+1)]/2J(J+1)

g(³P₁) = 3/2  ;  g(¹S₀
3)a-
 μ_J.B gμ_Bz
L'énergie d'interaction est donnée par: W_Z = gμ_BM_JB
Il y a donc décomposition des niveaux en gM_J

b-

Fig. 1

V- Effet Zeeman anomal  (Examen Licence PIV Kénitra juin 1989 suite)

On considère maintenant de la vapeur de sodium. Sachant que 

la transition de l'unique électron optique qui donne naissance à la raie D₁ se produit entre les niveaux 3²_1/2 et 3²S_1/2.

1) Tracer le diagramme d'émission lorsque ces niveaux sont séparés par effet Zeeman.
2) Combien de raies observe-t-on ? Justifier.

Corrigé

1) 3²P_1/2 correspond à  L = 1; S = 1/2 et J = 1/2; ce niveau se sépare en deux sous-niveaux M_J = -1/2 et +1/2
son facteur de Landé g = 2/3
3²S_1/2 correspond à  L = 0; S = 1/2 et J = 1/2; ce niveau se sépare en deux sous-niveaux M_J = -1/2 et +1/2
son facteur de Landé g=2
Voir figure 2 ci-dessous les transitions possibles:

Fig. 2

2) Les fréquences des transitions s'écrivent:

ν = ν₀ + (μ_BB/h)Δ(gM_J)  

On observe donc 4 raies en raison des valeurs différentes des facteurs de Landé. C'est l'effet Zeeman anomal ("Anomalous" Zeeman Effect).

IV- Effet Pashen-Back  (Examen SMP S5 Kénitra Février 2013)

On considère la raie λ_L de la série de Lyman (transition 2p → 1s). 

On soumet l'hydrogène à un champ magnétique uniforme d'intensité B. Combien de raies observe-t-on si l'interaction L.S est négligeable ? Justifier.



Corrigé

Dans ce cas, le champ B interagit avec le moment magnétique orbital et avec le moment magnétique de spin indépendamment l'un de l'autre.
L'Hamiltonien s'écrit: H = -μ_L.B - μ_S.B 
auquel correspond l'énergie: W = -μ_BB(M_L + 2M_S)
Les niveaux s'éclatent selon les valeurs de (M_L + 2M_S) 
On observe 3 raies (Fig. 3)

Fig. 3