Exercices Physique Atomique || Hydrogénoïdes

 Modèles de Balmer-Rydberg et de Bohr  - Orbitales

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I-Modèle empirique de Balmer - Rydberg

L’analyse, au moyen d’un réseau, de la lumière rouge émise par un tube spectral rempli d’hydrogène montre qu’il s’agit d’un spectre de raies dont les longueurs d’onde sont données par la relation empirique de Balmer : λ_n = λ ₀n²/ (n²-4)
n : entier naturel ;   λ₀ = 3647,05 Å 1) Déterminer pour cette raie, dite de Balmer, la plus petite valeur possible de n et en déduire la longueur d’onde de la raie correspondante.
2) Combien de raies observe-t-on si la série est limitée du côté UV par la raie
de longueur d’onde λ_V = 4000 Å ?
3) A l'aide de la formule de Balmer-Rydberg, déterminer les raies limites
des séries de Lyman, de Paschen et de Brackett.

Corrigé 


1) λ_n > 0 , n ² - 4 = (n-2)(n+2) > 0
or n > 0, soit n = 3 et λ₃ = 6565 Å (raie H_α).

2) λ_V ≤ λ_n , n² ≤ 4λ_V /(λ_V - λ), n < 7; 4 raies n=3, 4, 5 et 6

3) σ = 1/λ_n= R_H(1/m² - 1/n²), la comparaison avec la relation donnée dans l'exercice montre que : R_H = 4/λ_V

- Série de Lyman: m = 1 et n = 2 donne λ_L = 1/R_H = 911 Å- Série de Paschen: m = 3 et n = ∞ donne 
λ_P = 9/R_H = 8201 Å
- Série de Bracket: m = 4 et n = ∞ donne 
λ_B = 16/R_H = 25919 Å 

II- Modèle de Bohr  

Dans le modèle de Bohr, l'atome d'hydrogène est constitué d'un électron de  masse m décrivant une orbite circulaire autour du noyau supposé fixe. 
1)  Établir l'expression de l'énergie totale de l'électron en fonction du rayon r de l'orbite; on prendra l'énergie potentielle nulle à l'infini.
2) En tenant compte des postulats de Bohr: 
a- établir l'expression du rayon d'une orbite permise et de l'énergie correspondante;b- Calculer, pour l'atome d'hydrogène, le rayon de la plus petite orbite et l'énergie de l'état fondamental. 
3) Calculer la longueur d'onde de la radiation nécessaire pour faire passer l'atome d'hydrogène de l'état fondamental au premier état excité.


Corrigé

1) L'électron est soumis à la force d'attraction (due au noyau):

F = -ke²/r².r/r; avec  k = 1/4πε₀ F dérive d'un potentiel V: F = -gradV Le travail effectué par l'électron passer de +∞ à la distance r est tel que: dW = F.dr = -dV; soit W = ke²/r = -V(r); avec V(+∞) = 0 D'où le potentiel: V(r) = -ke²/r Le mouvement étant circulaire, l'énergie cinétique s'écrit: T = mv²/2 = ke²/2r; avec v = rω et γ= rω²
D'où l'énergie totale: E = -ke²/2r
2) a-le moment cinétique de l'électron est quantifié : L = nħ = mvr On en déduit:    
r_n = (ħ²/kme²)n²     

et    

E_n = (-k²me⁴/2ħ²)/n²  b- a₀ = r₁ = 0,53 Å     et     E₁ = -13,6 eV 

3) hc/λ = E₂ - E₁

d'où: λ = 1217 Å (première raie de Lyman)

III- Excitation de l'hydrogène

On bombarde de l’hydrogène avec des électrons accélérés par une tension de 12,1 V.
1)  Quels niveaux peuvent être excités ?
2)  Quels sont les raies possibles que l’on peut observer ?



Corrigé

Rappel:

* Énergie du niveau fondamental de l'hydrogène: E₁ = -13,6 eV
* Énergie d'un niveau excité n de l'hydrogène: E_n = -13,6/n² eV

1) Il y a transition si ∆E = hν = E_n - E₁
Il y a excitation si l'énergie fournie est au moins égale à ∆E = E₁ - E₂ ≤ W = 12,1 eV ; soit n ≤ 9
Niveaux excités: n = 2 et 3.
2) Les raies observées sont: λ₁ = 1223 Å , λ₂ = 1032 Å, λ₃ = 6565 Å

IV- Énergie d'ionisation d'un hydrogénoïde   

Déterminer l'énergie d’ionisation de l’atome d’hydrogène et des hydrogénoïdes He⁺ et Li²⁺ .


Corrigé

W_i = E_∞ - E₁ = 13,6.Z² W_iH = 13,6 eV
W_iHe+ = 54,4 eV
W_iLi2+ = 122,4 eV

V- Entrainement du noyau

1) Quelle correction faut-il apporter à l'énergie d'un hydrogénoïde lorsqu'on tient compte du mouvement du noyau ?
2) En déduire la relation qui existe entre la constante de Rydberg R_∞ d'un hydrogénoïde à noyau fixe et celle correspondant à un noyau mobile. 



Corrigé

1) Système: noyau (masse M) + électron (masse m) 

L'électron est soumis à la force d'attraction (due au noyau): 

F = md²r_e/dt² Le noyau est soumis à la force d'attraction (due à l'électron): -F = Md²r_N/dt² La somme des membres des deux équations donne:                                0 = md²r_e/dt² + M d²r_N/dt²

D'après la figure:  r_N= r_e- r  M d²r_N/dt² = (m + M)d²r_e/dt²
et F = md²r_e/dt² devient: 

F = [mM/(m + M)]d²r/dt² = μd²r/dt²  avec μ = mM/(m + M) : masse réduite Il suffit donc de remplacer dans les relations donnant l'énergie ou la constante de Rydberg m par μ. La correction à apporter à l'énergie:

∆E =  E_n - E_n(R_∞) = kZ²m²e⁴/2(m + M)ħ²n² 

La variation relative: ∆E /E_n(R_∞) = m/(m + M) = 0,05 %

avec M/m = 1860
La correction est tellement faible que le choix d'un noyau fixe est justifié.
2) La relation entre les constantes de Rydberg R_∞ (masse du noyau infiniment grande) et R_H(noyau mobile)  s'écrit:

R_H = R_∞.M/(m + M) = R_∞.1/(1 + m/M) R_∞ =  109735 cm^-1; R_H = 109675 cm^-1

VI- Potentiel de résonance de l'hydrogène   

On réalise une expérience d'émission photoélectrique avec l'hydrogène atomique.
1)  Calculer en eV l'énergie d'extraction W_e de cet atome.
2) Déterminer la longueur d'onde maximale nécessaire pour produire cette émission.
3) Exprimer, en fonction de W_e, le potentiel de résonance de l'atome d'hydrogène.

Corrigé

1) W_e = E_∞ - E₁= 13,6 eV

2) hc/λ = E_∞ - E₁  D'où: λ = 91 Å (première raie de Lyman)
3) Il y a résonance lorsque l'atome émet une radiation dont la fréquence est égale à celle de la radiation absorbée.

Le potentiel de résonance s'écrit: V = (E_n - E₁ )/e = 13,6(1 - 1/n²) Le premier potentiel de résonance: V₁ = 13,6 x 3/4 = 10,2 Volts


VII- Énergies d'excitation de l'ion Li²⁺   

On donne l'énergie de l'état de base E₁ du lithium Li²⁺ :  W₁ = -122,4 eV
1) Calculer l'énergie d'excitation des trois premiers niveaux possibles de cet hydrogénoïde.
2) Évaluer la longueur d'onde de la radiation émise lorsque l'ion Li²⁺ passe du niveau E₂ au niveau E₁.


Corrigé

1) Pour un hydrogénoïde, l'énergie d'une orbite s'écrit:
E_n = -13,6.Z²/n² (eV) Z = 3, E_n = -122,4/n² pour le lithium Li²⁺
L'énergie d'excitation du niveau E_n de Li²⁺  s'écrit: 
W_e = E_n - E₁ = 122,4(1 - 1/n²)
W_e1 = 91,8 V; W_e2 = 108,8 V; W_e3 = 114,8 V
2) hc/λ = E₂ - E₁   ;   λ = 135 Å 


VIII- Largeur naturelle d'une raie   

La théorie électromagnétique classique montre que lorsque l'électron décrit une trajectoire circulaire autour du noyau, de rayon r, il rayonne la puissance:

P = 2k³e⁶/3c³m²r⁴

k = 1/4πε₀ 

1) Donner d'après le modèle de Bohr, l'expression de l'énergie ΔE rayonnée lors du passage de l'électron de l'état fondamental au premier état excité.
2) Calculer un ordre de grandeur de la durée de vie τ de l'atome d'hydrogène dans cet état excité en admettant que ΔE = Pτ.
3) En se servant du principe d'incertitude de Heisenberg, calculer l'imprécision sur la fréquence de la raie émise lorsque l'électron retourne à son état de stabilité.
4) La longueur d'onde d'émission étant de l'ordre de 6000 Å, calculer l'élargissement Δλ de la raie provenant de cette imprécision.


Corrigé

1) D'après le modèle de Bohr (exercice II), 

E_n = (-k²me⁴/2ħ²)/n²  d'où: ∆E =  E₂ -  E₁ = 3 k ² me⁴/8ħ²
2) ∆E = Pτ donne τ = 9ħ⁶ c ³ /16k ⁶me¹⁰n ⁸    avec n = 2; τ = 9.10 ^-9s
3) Principe de Heisenberg: ∆E.∆t ~ ħ ∆E = ∆E₂ + ∆E₁; la durée de vie de l'état fondamental étant infini,  ∆E₁ = 0
et  ∆E₂ = ħ/τ
d'où: Δν = 1/2πτ = 17 x 10⁶ Hz
4) λ = c/ν    Δλ = λ²Δν/c = 2 x 10^-4 Å