Exercices quantique || Oscillateur harmonique

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Opérateurs d'annihilation a et de création a ⁺ - États cohérents de l'opérateur a - Oscillateur harmonique chargé >

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I- Opérateurs a et a⁺ (Examen PIII, Rabat Maroc juin1979)

A- On considère un système quantique dont l’Hamiltonien H ne dépend pas du temps.

1)    Montrer que l’état : |Ψ(t)> = e^-iHt/ℏ|Ψ(0)>
est solution de l’équation de Schrödinger qui régit l’évolution du système dans le temps.
2) Soit M un opérateur linéaire ne dépendant pas du temps. On pose :

|Ψ^~(t)> = e^+iHt/ℏ|Ψ(t)>
M^~(t) = e^+iHt/ℏMe^+iHt/ℏ

     a- Montrer que |Ψ^~(t)> ne dépend pas du temps.
     b- Montrer que <Ψ^~(t)|M^~(t)|Ψ^~(t)> =  <Ψ(t)|M|Ψ(t)>.
     c- Calculer dM^~(t)/dt et montrer que le résultat s’exprime en fonction d’un commutateur.






3) On suppose maintenant que l'Hamiltonien H est celui d'un oscillateur harmonique à une dimension de masse m et de pulsation ω. Soient |φ_n> et E_n les états propres et valeurs propres de H.
a⁺ et a étant les opérateurs de création et d'annihilation, on introduit les opérateurs a^+~ (t) et a^~(t) à l'aide de la définition donnée à la deuxième question. Montrer que: 
                                             a^+~ (t) =   e^+iωta^{+     ;}   a^~ (t) =   e^-iωta  

4) Utiliser les résultats de la question précédente pour calculer:  d²X^~ (t)/dt² 
et interpréter physiquement l'équation obtenue.

B- L'Hamiltonien H est toujours celui d'un oscillateur harmonique à une dimension de masse m et de pulsation ω. On introduit maintenant les états propres |α> de a, de valeurs propres α, définis par:

a|α> = α|α>  avec |α> = ∑_nC_n(α)|φ_n>

C₀(α) est réel positif.
1) L'opérateur a est-il hermitique ?
2) Montrer que: C_n+1(α) = (α/√n+1)C_n(α)
En déduire C_n(α) en fonction de C₀(α) et calculer C_n(α) en fonction de n et α (utiliser le fait que: ∑_nαⁿ/n! = e^α).
3) A l'instant t = 0, le système est dans l'état |Ψ(0)> = |α>; on mesure l'énergie à cet instant. Quelles valeurs peut-on trouver et avec quelles probabilités ? Exprimer ces probabilités en fonction de n et α.
4) Calculer la valeur moyenne de H dans l'état |α>.
5) Calculer l'état du système à l'instant t.

Corrigé

1) iℏd(e^-iHt/ℏ|Ψ(0)>)/dt = H|Ψ(t)>
2)
a- |Ψ^~(t)> = e^+iHt/ℏ.e^-iHt/ℏ|Ψ(0)> = |Ψ(0)>
b- <Ψ^~(t)|M^~(t)|Ψ^~(t)> =
 <Ψ(t)>|e^-iHt/ℏ.e^+iHt/ℏMe^-iHt/ℏ.e^+iHt/ℏ|Ψ(t)> = <Ψ(t)>|M|Ψ(t)>
c- dM^~(t)/dt = (i/ℏ)[H, M^~(t)]
3)
a^+~(t)|φ_n> = e^+iHt/ℏ.a⁺.e^-iHt/ℏ|φ_n>
                = e^+iHt/ℏ.a⁺. e^iE_nt|φ_n>
                = e^+iHt/ℏ..e^iE_nt.√n+1|φ_n+1>
                = e^iE_n+1t.e^iE_nt.√n+1|φ_n+1> = a⁺e^{i(E_n+1 - E_n)t}|φ_n>
d'où:   a^+~(t) = e^+iωta⁺ 
On montre de même que :  a^~(t) = e^-iωta
4)
d²X^~(t)/dt² = (ℏ/2mω)_^1/2(-ω²e^-iωta - ω²e^+iωta⁺) = -ω²X^~(t)
On obtient une équation différentielle du deuxième ordre sans second membre; le mouvement de X^~(t) est donc celui d'un oscillateur classique.
B -
1) a n'est pas hermitique puisqu'il n'est pas égal à son adjoint a⁺.2) a|α> = ∑_n=0C_n(α)a|φ_n> = ∑_n=0C_n(α)√n|φ_n-1>
               = 0 + ∑_n=1C_n(α)√n|φ_n-1>
               = ∑_n=1C_n-1(α)α|φ_n-1>d'où:  C_n+1(α) = (α/√n+1)C_n(α) 
C_n(α) = (α/√n)C_n-1(α)
C_n-1(α) = (α/√n-1)C_n-2(α)C_n(α) = (αⁿ/√n!)C₀(α)

C₀(α) = e^-|α|2/2

C_n(α) = (αⁿ/√n!)e^-|α|2/2

3) Le résultat est une valeur propre :

E_n = (n + 1/2)ℏω

avec la probabilité : P(E_n) = |<φ_n|Ψ(0)>|² = (|α|²/n!).e^-|α|2

4) <H>_α  = <α|H|α>  = <α|α⁺a + 1/2|α>ℏω> = (|α|² + 1/2)ℏω
5) |Ψ(t)> = e^-iHt/ℏ|Ψ(0)> = e^-iHt/ℏ|α> = ∑_n=0C_n(α)e^-iE_nt|φ_n>
on remplace C_n(α) par son expression, on obtient:

|Ψ(t)> = e^-|α|2/2.e^-iωt/2∑_n(αⁿ/√n!)e^-inωt|φ_n>

II- Oscillateur chargé

      Un oscillateur harmonique à une dimension est constitué par une particule de masse m, de charge q et d'énergie potentielle :

V(x) = mω²x²/2

l'Hamiltonien de la particule étant H₀.

1) On considère l'opérateur U(λ) et la transformation unitaire:

a^+~ = U(λ).a⁺.U⁺(λ)= a⁺ - λ

λ: constante réelle; a⁺ opérateur de création
Exprimer l'Hamiltonien H~ obtenu par la transformation unitaire:

H~ = U(λ).H₀. U⁺(λ)

en fonction de H₀, a, a⁺ et λ.
2) On suppose que la particule est plongée dans un champ électrique uniforme ε parallèle à l'axe Ox. En donnant à λ une certaine valeur, montrer que l'Hamiltonien H~ de la particule devient:

H~ = H(ε) + (qε)²/2mω²

H(E) étant l'Hamiltonien de la particule plongée dans ε.
 3) Déterminer les états propres et les énergies de H(ε).

Corrigé

1) H~ = U(λ).(a⁺a + 1/2)ℏω. U⁺(λ)
     = (U(λ).a⁺.U⁺U.aU⁺(λ)) + (1/2)ℏω
     = (a^+~.a^~) + (1/2)ℏω
     = [(a⁺ - λ).(a - λ) + 1/2]ℏω

H~ = H₀  - (a⁺ + a)λℏω + λ²ℏω

2)

L'Hamiltonien H(E) = H₀ - qεX
                     = H₀ - qε(a⁺ + a)(ℏ/2mω)
La comparaison avec H~ permet d'écrire:

         λ = (qε/ω)(1/2mℏω)           

d'où: H~ = H(ε) +(qε)²/2mω²
3)
Les vecteurs propres de H~ sont ceux de H, alors que les valeurs propres diffèrent de (qε)²/2mω²: H~U(λ)|φ_n> = U(λ)H₀|φ_n> = U(λ)E_n|φ_n> = E_nU(λ)|φ_n>
                 = (H(ε) +(qε)²/2mω²(qε)2/2mω22)U(λ)|φ_n>
                 = (H(E) +(qE)2/2mω2)U(λ)|φ_n> 
                 = (E_n(ε) + (qε)²/2mω²)U(λ)|φ_n>              
- les vecteurs propres de H(ε) sont: U(λ)|φ_n>.
- ses valeurs propres sont:

E_n(ε) = (n + 1/2)ℏω - (qε)²/2mω²