Exercice optique || Interférences Lame à faces parallèles - Anneaux de Newton

Lame à faces parallèles (Examen PCII Kénitra, Mai 1995) 

Dans ce problème, on s’intéresse aux phénomènes d’interférences par réflexion donnés par une lame à faces parallèles d’indice n = 3/2 et d’épaisseur e. On rappelle qu’une réflexion sur un milieu plus réfringent introduit un déphasage égal à π. La lame est éclairée par une source de longueur d’onde  

λ₀ = 0,720 μm dans le vide par l’intermédiaire d’un miroir semi-transparent M. Un rayon incident AI donne naissance aux différents rayons représentés sur la figure 1. 

 Fig. 1

1) Montrer que les surfaces d’égale différence de phase sont des anneaux localisés à l’infini.
2) On recueille les rayons réfléchis à l’aide d’une lentille mince de distance focale f = 1 m et on observe les anneaux dans le plan focal de celle-ci. Sachant que le rayon du premier anneau brillant est 8 mm, calculer l'épaisseur de la lame si le centre est supposé sombre. 


Corrigé 

1) Il s'agit d'interférences par division d'amplitude par une lame à faces parallèles d'indice n et d'épaisseur e. 

La différence de marche (d.d.m) par réflexion s'écrit :

δ = 2necosr + λ₀/2

λ₀/2 : d.d.m supplémentaire due à la réflexion vitreuse en I, réflexion sur un milieu plus réfringent.

Les surfaces d'égale différence de phase sont telles que:

Φ = 2πδ/λ₀= constante

ou si la d.d.m est constante, ou r = constante.

Or sini = nsinr et puisque l'incidence est faible: i # nr = conste 

Ce sont des franges d'égale inclinaison i (ou angle d'incidence i). Ce sont des anneaux localisés à l'infini (puisque les rayons qui interfèrent sont parallèles). 

On ramène les anneaux à distance finie dans le plan focal de la lentille L.

2) L'ordre d'interférence en un point d'un anneau est:

p = 2necosr/λ₀ + 1/2

p peut s'écrire au voisinage de l'incidence normale (i # 0): 

p = 2ne/λ₀ - ner²/λ₀ + 1/2

Au centre F', l'anneau (un point) est supposé sombre: 
Soit:  p₀ = 2ne/λ₀ + 1/2 = k + 1/2
 L'ordre du premier anneau brillant: p₁ = k , soit p₀ - p₁ = 1/2

Le rayon d'un anneau d'après la figure: 

ρ = fi 

et

i²= (nλ₀/e)(p₀ - p)

Le rayon du du 1^ier anneau brillant: ρ₁ = f(nλ₀/e)^1/2(1/2)^1/2

A.N: on donne  ρ₁ = 8 mm ; d'où e = 8,4 mm.

II- Dispositif de Newton (Examen PCII Kénitra, Juin 1988) 

On considère une lame d’air comprise entre une lentille plan-convexe L, de rayon de courbure R = 2 m et un plan de verre P; L et P étant en contact optique parfait au centre O de la lentille. On éclaire ce  système à l’aide d’une source monochromatique étendue, de longueur d’onde λ₀ = 0,59 μm dans le vide, sous une incidence voisine de la normale. 

1) Étudier le phénomène d’interférence que l’on obtient en regardant la lame par réflexion. Montrer que l’on obtient un système d’anneaux. 


2) Préciser la nature de la frange centrale et calculer les rayons des deux premiers anneaux sombres. 

3) Montrer qu’en regardant la lame par transmission, on obtient un phénomène d’interférence complémentaire de celui obtenu par réflexion. 

Corrigé 

1) Il s'agit d'interférence par division d'amplitude par une lame d'air (n=1).
La différence de marche (ddm) est:

δ = 2e + λ₀/2 (incidence normale i = 0 = r)

Les franges sont telle que l'épaisseur est constante: e = conste.

 En raison de la symétrie du dispositif, ce sont des anneaux.

2) La frange centrale e = 0 correspond à l'ordre d'interférence p₀ = 1/2; elle est sombre.

Fig. 2

D'après la figure 2, R² = ρ²+ HA² + (R - e)² = ρ² + R² - 2Re + e² Or e² << R² ;
 

d'où le rayon de l'anneau correspondant à l'épaisseur e: ρ = (2Re )^1/2
 

L'ordre du k^ième anneau sombre: p_k = k + 1/2 = 2ek /λ₀ + 1/2
 

D'où l'épaisseur e_k = kλ₀/2
 

et le rayon du k^ième anneau sombre:  ρ_k = (kRλ₀ )1/2
 

A.N:  ρ₁ = 1,08 mm ; ρ₂ = 1,53 mm

3) Par transmission, l'ordre d'interférence s'écrit: p_t  = 2e/λ₀
La relation liant p_t  à p par réflexion est: p = p_t +1/2
 

Ainsi à une frange sombre par réflexion (p = k + 1/2) correspond une frange brillante par transmission(pt = k).