Exercice optique || Interférences Fentes d'Young Miroirs de Fresnel

Fentes d'Young (Examen SMPS3 Kénitra: Février 2006)

On réalise, dans le vide, l’expérience des fentes d’Young; les fentes étant vues depuis la frange centrale sous un angle θ = 0,5 x 10-3 rad. 
On pose : x = M₀M, M étant un point de l’écran d’observation E, voisin de l’origine des abscisses M₀.

1) La source S est un laser He-Ne émettant une radiation d’intensité I₀ et de longueur d’onde λ₀ = 0,632 μm. 

a- Montrer que l’intensité résultante en M peut s’écrire sous la forme:

I(p) = I₀f(p)

f étant une fonction sinusoïdale dont on déterminera l’expression ; p étant l’ordre d’interférence en M. 

b- Déterminer la distance x₅ entre cinq franges noires successives. 

c- Les franges sont-elles visibles pour un observateur regardant E à la distance d = 25 cm et dont le pouvoir séparateur de son œil est α = 1,2 x 10-3 rad ?

2) La source S est remplacée par une diode laser de longueur d’onde λ. La distance entre cinq franges noires successives devient x₅’ = 5,4 mm. Déterminer λ.

3) On remplace la diode laser par une lampe de mercure émettant deux radiations de longueurs d’onde : λ₁ = 0,432 μm et λ₂ = 0,576 μm. Pour quelles valeurs des ordres d’interférence p₁ et p₂ observe-t-on la première coïncidence des deux systèmes de franges.

4) La source émet maintenant une lumière blanche. 

a- Décrire le phénomène d’interférence observé sur l’écran E. 

b- On retire l’écran E et on regarde les franges à travers un spectroscope placé à un distance x = 4 mm de M₀. Déterminer les longueurs d’onde des raies qui manquent dans le spectre observé entre 0,40 μm et 0,80 μm. 

Corrigé

1) a- L'intensité s'écrit:

 = I₀ + I₀ + 2I₀cosΦ = 2I₀(1 + cosΦ) = 4I₀cos²(Φ/2)

avec :

Φ = 2πδ/λ₀= 2πp 

b- x₅ = 4i = 4λ0D/a = 4λ₀/θ = 5,06 mm.

c- α = i/d = 5 x 10-3 rad > α_œil ; les franges sont bien visibles.

2) x₅' = 4i' = 4λD/a ; λ = 0,680 μm

3) |p₁ - p₂|= 1 = δ|1/λ₂ - 1/λ₁| = p1(λ₁ - λ₂)/λ₂  

     On en déduit:   p₁ = 4 et p₂ = 3.

4) a- On observe des franges colorées (irisées); la frange centrale est blanche

b- Les franges qui manquent sont noires (absence de couleur).

Soit pour:  p = δ/λ = k + 1/2 

et    0,4 x 10^-6 ≤ λ ≤ 0,8 x 10^-6

Or   λ = θx/(k + 1/2) 

On trouve k = 2, 3 et 4 ; il manque donc trois couleurs.

Miroirs de Fresnel

Une fente lumineuse F monochromatique est disposée parallèlement à l'arête commune I de deux miroirs de Fresnel M₁ et M₂ à la distance d = 40 cm de celle-ci . Les deux miroirs font entre eux un angle dont le supplément est petit et égal à θ = 5,9 x 10-3 rad.

1) Dessiner le champ d'interférence dans un plan de section droite; on négligera la diffraction. Préciser le lieu de la frange centrale.

2) On place un écran perpendiculairement à la direction moyenne des rayons lumineux qui interfèrent et à la distance L = 2m de I. La distance sur cet écran entre la frange centrale et la troisième frange sombre étant égale à 0,75 mm, calculer la longueur d'onde λ₀ de la lumière utilisée. 

Corrigé 

1) Sur la figure suivante, F₁ et F₂ sont les images de F par rapport aux miroirs. 
Lorsqu'un miroir tourne de θ, l'image tourne de 2θ, ainsi l'angle F₁IF₂ = 2θ.

La différence de marche optique :

δ = ax/D 

 avec a = F₂F₁


La frange centrale correspond à x = 0, soit en δ = 0; la frange centrale est brillante.

2) a = F₂F₁ = 2   et    D = d + L

δ = ax/D = 2θdx/(d + L) 

Les franges brillantes sont telles que:

δ = kλ₀

la frange centrale est donc brillante (k = 0).

Les franges sombres sont telles que δ = (k + 1/2)λ₀.

L'abscisse d'une frange brillante s'écrit :

x_k = kλ₀D/a  

d'où l'interfrange :

i = λ₀D/a = λ(d + L)/2θd 

On donne la distance x = 0,75 mm entre la frange centrale (brillante) et la 3^ème frange sombre:  x = 2,5i

d'où

λ₀ = 2θdi/(d + L) = 0,59 μm