I- Rayonnement du corps noir
Porté à une température donnée T, le corps noir émet un rayonnement dont la densité d’énergie en fonction de la fréquence d’émission ν suit la loi de Planck à l’équilibre thermodynamique :
ρT(x) = (8π/h2)(kT/c)3x3/(ex - 1)
avec :x = hν/kT ;
h : constante de Planck ;
k : constante de Boltzmann ;
c : célérité de la lumière
1) En déduire :
a- la loi d’émission de Rayleigh-Jeans relative au domaine infrarouge ;
b- la 2ème loi de Wien relative aux fréquences d’émission élevées ;
c- la loi de Stefan ; on calculera dans ce cas l’énergie totale u(T) rayonnée par le corps noir à la température T.
2) Montrer que pour une température T donnée, la densité d’énergie présente un extremum pour x = 2,821.
3) Comment varie cet extremum en fonction de la température ? 4) En déduire la loi de Wien relative au déplacement de cet extremum.
On donne: Σ∞(6/n4) = π4/15
Corrigé
1)a- Loi de Rayleigh-Jeans Cette loi n'est valable qu'en basses fréquences, soit pour hν << kT ou x faible ex ~ 1 + x , d'où:
ρT(ν) = (8π/c3)ν2(kT)
La densité d'énergie est une fonction quadratique en ν.b- 2ème loi de Wien Dan ce cas hν >> kT ρT(ν) = (8π/c3)ν3e-hv/kT
c- Loi de Stefan-Boltzmann L'énergie totale rayonnée:
u(T) = ∫0∞ρT(ν)dν = (kT/h)∫0∞ρT(x)dx
u(T) = (8π/h3c3).I.(kT)4 = aT4
avec
I = ∫0∞x3dx/(ex - 1) = π4/15
u(T) est bien proportionnelle à T4.
2) ρT(x) passe par un extremum dρT(x)/dx = 0 soit si : e-x = 1 - x/3
La résolution se fait graphiquement (Figure):
On monte qu'il s'agit d'un maximum.
3) νmax = (kxmax/h).T, c'est une fonction linéaire.
4) Loi de déplacement de Wien:
xmax = hc/kTλmax → λmaxT = hc/kxmax= cste
II- Matrices de Pauli
On considère les trois opérateurs σx, σy et σz, qui dans la base des états propres {|+>, |->} de σz s'écrivent:
1) Montrer que ces opérateurs sont hermitiques.
2) Montrer que [σx, σy] = 2iσz.
3) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de σx et σy dans la base des états de σz.
Corrigé
1) On vérifie bien que les éléments matriciels: (σ)ij = (σ)ji*2) Le produit des matrices donne: σx.σy = iσz σy.σx = -iσz Le commutateur [σx, σy] = 2iσz σx et σy ne commutent pas
3)
- Pour σx:
* les valeurs et vecteurs propres sont:
λ = -1 ; |V1>= 1/√2(|+> - |->)
λ = +1 ; |V2>= 1/√2(|+> + |->)
- Pour σy:
* les valeurs et vecteurs propres sont:
λ = -1 ; |V1>= 1/√2(|+> - i|->)
λ = +1 ; |V2>= 1/√2(|+> + i|->)
III- Probabilité de mesure et évolution d'un système
On considère un système physique décrit, à t = 0, par le vecteur:
|ψ(0)>= 1/√2|u1> + 1/2|u2> + 1/√8 |u3 > + 1/√8|u4>
{|ui>} étant une base orthonormée.
Dans cette base, l'opérateur Hamiltonien du système s'écrit:
H|u1> = ħω|u1> H|u2> = 0 H|u3> = -ħω|u3> H|u4> = 3ħω|u4>
ω étant une pulsation.
1) Calculer la norme de |ψ(0)>.
2) On mesure, à t = 0, l'énergie du système. Quelles valeurs obtient-on et avec quelles probabilités ?
3) Lors d'une mesure, à t = 0, quelle est la probabilité de trouver le système dans l'état |u3> ?
4) Calculer la valeur moyenne de H dans l'état |ψ(0)>.
5) Quelle est la probabilité d'obtenir précisément cette valeur moyenne lorsqu'on mesure l'énergie du système à t = 0.
6) Calculer l'écart quadratique moyen correspondant à cette valeur moyenne.
7) On fait évoluer le système dans le temps, donner l'expression de l'état
|ψ(t)>.
8) Quelle est la probabilité de trouver le système, à l'instant t, dans l'état |u3> ? Conclure.
Corrigé
1) <ψ(0)|ψ(0)> = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8 = 12) Le résultat de mesure est l'une des valeurs propres de H, soit: * ħω avec la probabilité P(ħω) = |
5) La probabilité est égale à zéro puisque 3ħω/4 n'est pas une valeur propre de H.
6) (ΔH)2 = <ψ(0)|H2 |ψ(0)> = 7(ħω)2/4 (ΔH)2 = 19(ħω)2/16 7)
|ψ(t)> = e-iHt/ℏ|ψ(0)>
Rappel:
si A|ψ> = a|ψ> et si F est une fonction développable en série entière, on peut écrire:
F(A)|ψ> = F(a)|ψ>
|ψ(t)>= (e-iωt/√2)|u1> + (1/2)|u2> + (e+iωt/√8)|u3> + (e-3iωt/√8)|u4>
8) P(|u3>) =
