Interféromètre de Michelson
On éclaire l'interféromètre de Michelson par la raie verte du mercure de longueur d'onde λ 0 = 0,55 μm et d'intensité I0; la séparatrice L S est une lame semi-réfléchissante non absorbante d'épaisseur négligeable. On pose d1 = O O1 et d2 = OO2.
a- Montrer que l'on peut observer au voisinage de l'incidence normale, des anneaux localisés dans le plan focale E d'une lentille convergente L de distance focale f = 1 m.
b- On suppose que le centre est brillant, déterminer les rayons des deux premiers anneaux brillants.
c- Déterminer l'expression du rayon d'un anneau sombre si le centre est brillant.
d- Décrire le phénomène observé si l'interféromètre est éclairé en lumière blanche.
2) L'interféromètre est maintenant réglé en coin d'air; d1 = d2, l'image M1' et la surface de M2 font entre elles un angle α = 1'.
a- Décrire le phénomène d'interférence observé.
b- Calculer l'interfrange.
Corrigé
1) a- Il s'agit d'interférence par division d'amplitude par une lame d'air (n=1) à faces parallèles.La différence de marche (ddm) est:
δ = 2ecosr = 2ecosi
puisqu'il s'agit d'une lame d'air (n = 1); i étant l'angle d'incidence.Les franges sont telles que la ddm est constante, soit si i = constante.
Ce sont des franges d'égale inclinaison ou anneaux localisés à l'infini. On les ramène à distance finie dans le plan focale de la lentille L.
b- L'ordre d'interférence en un point d'un anneau est:
p = 2ecosi/λ0
Au centre F': p0 = 2e/λ0 = k entier (centre brillant)
L'ordre du premier anneau brillant: p1 = k - 1
L'ordre du deuxième anneau brillant: p2 = k - 2
L'ordre du mième anneau brillant: pm = k - m
Le rayon d'un anneau d'après la figure:
ρ = fi et i2= (λ0/e)(p0 - p)
Le rayon du du mième anneau:
ρm = f(λ0/e)1/2(p0 - pm)1/2 = f(λ0/e)1/2m1/2
c- Cas d'un anneau sombre avec centre brillant: p0 = k
le premier anneau sombre: p1 = k - 1/2 = p0 - 1/2 = p0 - (1 - 1/2)
le deuxième anneau sombre: p2 = k - 1/2 - 1 = p0 - 3/2 = p0 - (2 - 1/2)
le mième anneau sombre: pm = p0 - (m - 1/2)
Soit
p0 - pm = m - 1/2 ρm = f(λ0/e)1/2(p0 - pm)1/2 = f(λ0/e)1/2(m - 1/2)1/2
d- En lumière blanche, on observe un phénomène irisé; les anneaux étant colorés au voisinage de F', puis un blanc d'ordre supérieur.
2)
a- Dans ce cas l'ordre d'interférence est: δ = 2e Les franges sont d'égale épaisseur. On observe donc des segments de droites parallèles à l'arête de trace O2.
b- L'interfrange est donné par la relation (voir mon cours):
Δx = λ0/2α = 0,94 mm
1) La source émet une radiation monochromatique de longueur d’onde λ0 = 0.625 μm.
Interféromètre de Fabry-Pérot (Examen SMP, S3: janvier 2005)
On considère un interféromètre de Fabry-Pérot, constitué d'une d'une lame à faces parallèles d’indice n = 1,543 et d’épaisseur e = 5,400 mm (Figure): la lame étant placé dans l'air d'indice unité. Les faces F1 et F2 sont traitées optiquement de telle sorte qu’elles aient le même pouvoir de réflexion R; on réalise ainsi un coefficient de finesse des franges F = 103.
On éclaire la lame par une source étendue S et on étudie les interférences « à ondes multiples » obtenues par transmission dans la direction définie par l’angle i supposé faible. On désigne par I0 l’intensité de l’onde incidente et par Φ la différence de phase entre deux rayons transmis consécutifs
1) La source émet une radiation monochromatique de longueur d’onde λ0 = 0.625 μm.
a- Montrer que les surfaces d’égale Φ sont des anneaux.
b- On observe les franges dans le plan E placé à la distance f’ = 1 m de la lentille L. Montrer que le centre F’ n’est ni brillant ni sombre; on écrira l’ordre d’interférence en F’ sous la forme: p0 = k + ε (k entier) et on calculera l’excédent fractionnaire ε.
c- Montrer que le rayon ρm du mième anneau brillant dépend de ε. Calculer ρ1 pour m = 1.
d- Donner en fonction de I0, R, φ et de l’entier N l’amplitude complexe AN du Nième rayon transmis et montrer que l’intensité résultante au point M de E s’écrit : I = I0 A(φ, R) A(φ, R) étant la fonction d’Airy.
2) S émet maintenant deux radiations voisines λ0 et λ0 + Δλ. Calculer le pouvoir de résolution maximal de la lame Rmax et en déduire la valeur de l’intervalle spectral Δλmin résolu.
Corrigé
1)a- La différence de phase:φ = 2πδ/λ0
δ = 2necosr
Les franges sont telles que φ = Cste ou δ= Cste ou r = Cste ou i = Cste. Ce sont des franges d'égale inclinaison. Ce sont des anneaux.
b- Au centre: p0 = 2ne/λ0 = 26663,04 = k + ε
ε = 0,04
ainsi le centre n'est ni brillant ni sombre, puisque l'excédent fractionnaire n'est pas nul et n'est pas égale à 1/2.
c- Voir cours, l'expression du rayon d'un anneau est donnée par la relation:
ρ1 = 2,67 mm
d- Voir cours
2) Δλmin = λ0/p0.F = 0,227 pm.
