Physique atomique ||Exercices corrigés Termes spectraux

I- Termes spectraux

Exercice 1
Donner les termes spectraux du niveau: L = 1 et S = 1/2

m = 2S+1 = 2
J est compris entre |L-S| = 1/2 et L+S = 3/2, soit J = 1/2 et 3/2 (on passe d'une valeur de J à la suivante par pas de 1
L = 1 correspond à la lettre P
Les termes spectraux sont: ²P_1/2 et ²P_3/2 
Trouver les valeurs de J du terme ⁴ D

m = 2S+1 = 4 , S = 3/2
la lettre D donne L = 2
J est compris entre |L-S| = 1/2 et L+S = 7/2
Les termes sont: ⁴D_1/2 ; ⁴D_3/2 ; ⁴D_5/2 et ⁴D_7/2

Exercice 3
Déterminer les termes spectraux correspondant à une configuration
p ¹ p¹

On a deux électrons occupant des sous-couches p, pour lesquelles l = 1 et m_l = -1, 0 ou +1

* On peut déterminer L et S rapidement en écrivant que:

|ℓ<₁ - ℓ₂|= 0 ≤ L ≤ℓ₁ + ℓ₂ = 2 ; soit L = 0, 1 ou 2

Idem: S = 0 ou 1

* On applique maintenant la méthode de Russel-Saunders

M_L = m_l1 + m _l2 = (-1,0,+1) + (-1,0,+1); on trouve:
M_L = -2, -1, 0, +1, +2 soit L = 2
M_L = -1, 0, +1 soit L = 1
M_L = 0 = L
M_S = m_s1 + m_s2 = -1, 0, +1 soit S = 1
M_S = 0 soit S = 0

Les termes:
* S = 0 et L = 0: ¹S₀
* S = 0 et L = 1: ¹P₁
* S = 0 et L = 2: ¹D₂
* S = 1 et L = 0: ³S₁
* S = 1 et L = 1: ³P₀ ; ³P₁ et ³P₂
* S = 1 et L = 2: ³D₁ ; ³D₂ et ³D₃

Exercice 4
Montrer que pour des sous-couches complètes (configuration pleine):
L = S = J = 0

* configuration ns²

On a deux électrons pour lesquels: m_l1 = m _l2 = M_L= L = 0
et m_s1 = -1/2 ; m _s2 = +1/2 ; M_S= S = 0
d'où J = 0

* configuration np⁶ 

On a six électrons pour lesquels: m_l = -1, 0, 1, -1, 0, 1
d'où M_L= L = 0
et m_s = -1/2, 1/2, -1/2, 1/2, -1/2, 1/2
d'où S = J = 0

Exercice 5
Déterminer les termes spectraux fondamentaux de l'hydrogène, de l'hélium, du carbone, de l'oxygène et du fluor

* Hydrogène H (Z = 1), la configuration électronique 1s¹
On a 1 électron S = 1/2 et L = 0; le terme fondamental: ² S_1/2
* Hélium He (Z = 2) 1s²
Couche pleine L = 0 = S = J;  ¹ S₀        

* Carbone (Z = 6) 1s²2s²2p² 

 

Les sous-couches 1s et 2s sont pleines, elles ne contribuent pas aux valeurs de L, S et J. Les sous-couches p donnent S_max = 1.
Pour cette configuration les M possibles sont : M = -1+0; -1+1; et 0+1 soit L_max = 1 et  J = |L - S |= 0
<sup>Le terme fondamental: 3 P₀

* Oxygène O (Z = 8) 1s 22s22p4</sup>

Les sous-couches 1s et 2s sont pleines, elles ne contribuent pas aux valeurs de L, S et J.
Les sous-couches p donnent S_max = 1 et L_max = 1; soit  J = L + S = 2
Le terme fondamental: ³ P₂


^{* Fluor F (Z = 9) 1s22s22p5}

Les sous-couches p donnent S_max = 1/2 et L_max = 1; soit  J = L + S = 3/2
Le terme fondamental: ² P_3/2


Exercice 6
Déterminer les termes spectraux correspondant à une configuration s¹ p¹

On a deux électrons occupant des sous-couches s et p, pour lesquelles l₁ = 0 et l₂ = 1 ; et s_l = s₂= 1/2
* On peut déterminer L et S rapidement en écrivant que:

|l₁ - l₂|= 1 ≤ L ≤ l₁ + l₂ = 1 ; soit L = 1

Idem: |s₁ - s₂|= 1 ≤ S ≤ s₁ + s₂ = 1 ; soit S = 0 ou 1

Les termes sont:
* S = 0 et L = 1: ¹P₁
* S = 1 et L = 1:  ³P₀ ; ³P₁ et ³P₂

Exercice 7
On considère la transition entre les états quantiques 1s (fondamental) et 2p (excité) de l'hydrogène.
a) Précise la structure fine de ces états compte tenu du couplage spin-orbite.
b) On soumet l'hydrogène à un champ magnétique B uniforme et faible (B est parallèle à un axe Oz). Montrer que l'on observe un effet Zeeman anomal.


a) On détermine donc les valeurs de J de chaque niveau (structure fine).
- Niveau 1s: S = 1/2; L = 0; soit J = 1/2; le terme s'écrit: ² S_1/2

- Niveau 2p: S = 1/2; L = 1 ; soit J = 1/2 et 3/2; les termes s'écrivent
^{2 P_1/2 ; 2 P_3/2}

b) Dans ce cas, il y a levée de dégénérescence en M_J (cf. mon cours Magnétisme atomique)
L'Hamiltonien d'interaction s'écrit: H = -μ_J.B = -gγJ_z.B
L'énergie correspondante: W_Z = gμ_BM_JB
les niveaux s'éclatent donc en M_J

Voir Figure, les différentes transitions possibles, compte tenu de la règle de sélection:  ΔM_J = -1, 0 , +1 

On observe 10 raies Zeeman anomal

II- Termes spectraux de l'hydrogène - Couplage spin-orbite 

1) Déterminer le terme spectral fondamental de l'atome d''hydrogène.
2) L'unique électron de H est maintenant excité vers le niveau quantique 2p. Déterminer les termes spectraux possibles de cette nouvelle configuration.
3) On considère la raie λ = 1215 Å de la série de Lyman (transition 2p → 1s). Montrer que, compte tenu du couplage spin-orbite, cette raie est dédoublée.

Corrigé

1) Hydrogène H (Z = 1), la configuration électronique 1s¹
On a 1 électron S = 1/2 et L = 0; le terme fondamental:  ² S_1/2
2) la configuration 2p¹ correspond à S = 1/2 et L = 1; d'où:
|L - S| = 1/2 ≤ J ≤ L + S = 3/2 d'après la méthode du couplage spin-orbite L.S ou de Russel-Sunders ;
J = 1/2 et 3/2; les termes sont:  ²P_1/2 et ² P_3/2

Remarque: 
l'Hamiltonien correspondant à ce couplage s'écrit: 

H = aL.S = a/2.(J² - L² - S²)

auquel correspond la valeur propre ou l'énergie d'interaction: 

W_SO = aħ²[J(J+1) - L(L+1) - S(S+1)]/2

On voit bien que les niveaux s'éclatent en J.

3) D'après la figure 3, la raie est dédoublée conformément à la règle de sélection ΔJ = 0, ±1